이코테 - 최단경로 (다익스트라, 플로이드 워셜)

최단 경로

길찾기 문제로 불림.

주로 다익스트라, 플로이드 워셜, 벨만 포드 3가지가 있음.

다익스트라 알고리즘

한 지점에서 다른 특정 지저까지의 최단 경로를 구해햐하는 경우 사용

방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 알고리즘 (그리디와 비슷)

출발노드에 대한 다른 노드의 최단 거리를 저장하기 위해 1차원 리스트 사용

• 간단하면서 느린 다익스트라 알고리즘 - 시간복잡도 $O(V^2)$ (V는 노드 개수)
• 최단거리가 가장 짧은 노드를 선형 탐색, 현재노드와 연결된 노드 일일이 확인

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m = map(int ,input().split()) # 노드 개수, 간선 개수
start = int(input()) # 시작 번호
graph = [[] for i in range(n + 1)]
visited = [False] * (n + 1)
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split()) # a 노드에서 b 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드 제외한 n-1개 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐 다른 노드로 이동하는 거리거 더 짧을 때
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할수 없는 경우 INF 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

• 복잡하지만 빠른 다익스트라 알고리즘 - 시간복잡도 $O(ElogV)$ (E 간선, V 노드)get_smallest_node() 함수를 작성할 필요 x ⇒ 우선순위큐가 해주기 때문
• 힙 자료구조 이용하여 최단거리 노드를 빠르게 찾음 (heapq 이용 - 최소우선순위큐)

import heapq
from re import L
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m = map(int ,input().split()) # 노드 개수, 간선 개수
start = int(input()) # 시작 번호
graph = [[] for i in range(n + 1)]
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split()) # a 노드에서 b 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단경로는 0으로 설정, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start)) # (거리, 노드번호)
    distance[start] = 0
    while q:
        # 최단거리의 노드에 대한 정보
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧을 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할수 없는 경우 INF 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

플로이드 워셜 알고리즘

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 경우 사용

현재 노드를 거쳐가는 모든 경로를 고려 - 시간복잡도 $O(N^3)$

2차원 리스트에 최단거리 정보 저장 (모든 노드에 대해 다른 모든 노드 최단거리 정보 담음)

노드개수가 N일때, N번 만큼 반복하여 점화식에 맞게 2차원리스트 갱신 (DP 문제 비슷)

점화식: $D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})$

A에서 B로 가는 최소 비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용 중 최소 선택

현재 확인하고 있는 노드 제외 N-1개중 순열 $P_{2}$ 개의 쌍에 대해 확인 ⇒ 시간복잡도 $O(N^3)$

INF = int(1e9)

n = int(input()) # 노드 개수
m = int(input()) # 간선 개수

graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)] # 2차원 거리 정보 리스트, 모든값 무한 초기화
# 자기 자신 거리정보 0
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선 정보 받아 설정
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split()) # a에서 b로 가는 비용 c
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 실행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할수 없는 경우 INF 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()